Уравнение и неравенства под знаком модуля

Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля /qualihelpy

уравнение и неравенства под знаком модуля

Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. Таким образом, мы считаем, что изучение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, является необходимым в курсе элементарной. Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля .

Значит дробное выражение положительно, если так. Преобразуем полученное выражение, при условии. Получим систему, равносильную исходному уравнению: Решив данную систему получим ответ Ответ: Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условиена этом промежутке знаменатели обеих дробей равны.

Получим систему равносильную исходному уравнению: Полученное уравнение нетрудно решить одним из основных методов, таким образом получив ответ исходного уравнения Ответ: Свернём подкоренные выражения слагаемых по формулам квадратов суммы и разности и применим вышеупомянутое тождество: Продемонстрируем решение неравенства, применяя теорему о знаках, формулировка которой следующая: Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.

Рассмотрим решение неравенства путём домножения на положительных множитель. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство: Решив полученное рациональное неравенство методом интервалов получим решение первоначального неравенства Ответ: Уравнения и неравенства с модулем, содержащие параметры рационально решать одним из основных методов, а именно графическим.

Продемонстрируем решение сложной задачи с параметром, содержащую уравнение с модулем.

уравнение и неравенства под знаком модуля

Найти такие значения параметрапри которых уравнение имеет ровно корней [4]. Построив график функции используя правило построения графиков функций вида и рассмотрев все случаи, в зависимости от параметра легко увидеть, что искомое равенство достигается только в случае рис. Таким образом, мы продемонстрировали многообразие способов и приёмов решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, и выделили наиболее рациональные в тех или иных случаях.

Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля - презентация онлайн

Метод интервалов Теперь разберёмся с неравенствами. Их существует великое множество, но наша задача сейчас — уметь решать хотя бы самые простые из. Те, которые сводятся к линейным неравенствам, а также к методу интервалов.

уравнение и неравенства под знаком модуля

Метод интервалов для неравенств особенно посмотрите видео ; Дробно-рациональные неравенства — весьма объёмный урок, но после него у вас вообще не останется каких-либо вопросов. Требуется решить неравенство вида: Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: В этом вся фишка модуля. Давайте решим парочку задач: Отметим их решения на параллельных числовых прямых: Пересечение множеств Пересечением этих множеств и будет ответ.

Это задание уже чуть посложнее. Для начала уединим модуль, перенеся второе слагаемое вправо: Но ещё раз напомню, что наша ключевая цель — грамотно решить неравенство и получить ответ. Позже, когда вы в совершенстве освоите всё, о чём рассказано в этом уроке, можете сами извращаться как хотите: А мы для начала просто избавимся от двойного минуса слева: В этот раз выкладки будут посерьёзнее: Переходим к уравнению в первом неравенстве: Теперь разберёмся со вторым неравенством системы.

Там придётся применить теорему Виета: Опять же, поскольку мы решаем систему неравенств, нас интересует пересечение заштрихованных множеств: Это и есть ответ.

уравнение и неравенства под знаком модуля

Уединить модуль, перенеся все другие слагаемые в противоположную часть неравенства. Решить это неравенство, избавившись от модуля по описанной выше схеме. В какой-то момент потребуется перейти от двойного неравенства к системе из двух самостоятельных выражений, каждое из которых уже можно решать отдельно. Наконец, останется лишь пересечь решения этих двух самостоятельных выражений — и всё, мы получим окончательный ответ.

Аналогичный алгоритм существует и для неравенств следующего типа, когда модуль больше функции. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому.

При этом варианты объединены квадратной скобкой, то есть перед нами совокупность двух требований. Обратите внимание ещё раз: Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!

Уравнения и неравенства с модулем

Вообще, с объединениями и пересечениями у многих учеников сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда: Чтобы ещё проще было запомнить, просто пририсуйте к этим знакам ножки, чтобы получились бокалы вот только не надо сейчас обвинять меня в пропаганде наркомании и алкоголизма: Разница между пересечением и объединением множеств В переводе на русский это означает следующее: Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.

Да ничего — всё то же. Переходим от неравенства с модулем к совокупности двух неравенств: К сожалению, корни там будут не оч: Однако отмечать точки нужно в правильном порядке: И вот тут нас ждёт подстава. От ответа на этот вопрос будет зависеть расстановка точек на числовых прямых и, собственно, ответ.

Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Случай некрасивых корней Напомню, мы решаем совокупность, поэтому в ответ пойдёт объединение, а не пересечение заштрихованных множеств. Но вопросам сравнения будет посвящён отдельный и очень серьёзный урок. А мы идём. Он работает во всех неравенствах, где слева и справа стоят гарантированно неотрицательные выражения: Никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

уравнение и неравенства под знаком модуля